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Considere la función $f(x)$, donde $a \in \mathbb{R}$, dada por $$f(x) = \begin{cases} \frac{1 - e^x}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

Sea la función $f(x) = x \ln(1 + x) - x \ln(1 - x)$ con $x \in (0, 1)$.

Calcule la siguiente suma de integrales definidas $$\int_{1}^{2} \frac{-2}{x^3} dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sec x \cdot e^{\sec x} + \cos^2 x \cdot e^{\sec x}) dx,$$ cuyas integrales indefinidas asociadas son inmediatas.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{k}{(x - a)(2x - 1)}$ para $x \neq a$ y $x \neq \frac{1}{2}$.

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = 4 - \frac{x^2}{3}$ y $g(x) = \frac{x^2}{6} - 2$.