Practica por temas

Considere la función $f(x) = \frac{\sen x \cos^2 x}{1 + \cos^2 x}$, definida para todo valor de $x \in \mathbb{R}$, donde $\cos^2 x = (\cos x)^2$.

Sea la función $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} + \ln \frac{x^2 + 2}{3} & x < 1 \\ \frac{x^2}{3} & x \geq 1 \end{cases}$

Determínense los valores de $a$ y de $b$ para los cuales la función definida por: $$f(x) = \begin{cases} a + \cos x, & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - 2bx + 1, & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ es continua y verifica que $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$.

Halla la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f''(x) = x \cos(x)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi, 2\pi)$.

Un proyectil está unido al punto $(0, 2)$ por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva $y = 4 - x^2$ de extremos $(-2, 0)$ y $(2, 0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: