Practica por temas

Halla el valor de $m$ para que la recta de ecuación $\frac{x}{2} = y = z$ y el plano de ecuación $x - y + mz = 4$ formen un ángulo de $30$ grados.

Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = xe^{-x^2}$.

Considera los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ dados respectivamente por las ecuaciones $$(x, y, z) = (-2, 0, 7) + \lambda(1, -2, 0) + \mu(0, 1, -1) \quad \text{y} \quad 2x + y - z + 5 = 0$$ Determina los puntos de la recta $r$ definida por $x = y + 1 = \frac{z - 1}{-3}$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.

Dadas las rectas $$r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{-2}, \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 4, \\ 2x + z = 4, \end{cases}$$ se pide:

Averigua qué dos matrices de dimensiones $3 \times 3$, $X$ e $Y$, verifican las siguientes condiciones: La suma de ambas matrices $X$ e $Y$ da como resultado la matriz $I_3$ (siendo $I_3$ la matriz identidad $3 \times 3$). Siendo $A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -7 \\ 14 & -12 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix}$, la matriz traspuesta de $A$ es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz $X$ y cinco veces la matriz $Y$.