Practica por temas

Considera la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (\ln(x))^2$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $|A^{3}| = 8$, siendo $A$ la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} t - 1 & t + 1 & 3 \\ t^{2} - t & t^{2} + 2 t & t \\ 1 - t & - 1 - t & - 2 \end{pmatrix}$$

Demuestre, sin utilizar la regla de Sarrus y sin desarrollar directamente por una fila y/o columna, que $$\begin{pmatrix} x & x + 1 & x + 2 \\ x & x + 3 & x + 4 \\ x & x + 5 & x + 6 \end{pmatrix} = 0$$ Indique en cada paso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando.

El $38\%$ de los habitantes de un pueblo afirman que su deporte favorito es la natación, mientras que el $21\%$ prefieren el ciclismo y los habitantes restantes se inclinan más por otros deportes. Si se escoge al azar una persona y, acto seguido otra diferente, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: