Practica por temas

Con una chapa metálica de $8 \times 5$ metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajón sin tapa de volumen máximo. Halla razonadamente las dimensiones de dicho cajón.

Una empresa fabrica tres tipos de bombilla: A, B y C. La bombilla tipo A tiene 10 puntos LED, la tipo B tiene 20 puntos LED, y la tipo C tiene 50 puntos LED. El nombre de bombillas de 10 puntos LED fabricadas diariamente es $\lambda$ veces el número de bombillas de 50 puntos LED. A la empresa le interesa saber cuántas bombillas de cada tipo puede fabricar diariamente.

**Problema 1.** a) Dado $k \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \end{cases}$$ Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$, y resolverlo para $k = -1$. **(1.5 puntos)** b) Sea $A$ una matriz cuadrada que verifica $A^2 = I + 3A$, donde $I$ denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de $A$ no es cero y expresar $A^{-1}$ en función de $A$ y de $I$. **(1 punto)**

Dada la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de máximos, mínimos y asíntotas.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}$ calcular qué valor debe tener $x$ para que la matriz inversa de $A$ coincida con la opuesta de $A$ (esto es, $A^{-1} = -A$).