Practica por temas

Una caja (prisma rectangular) tiene por dimensiones $A$, $2A$ y $3A$. Si disminuimos cada una de sus dimensiones en un $50\%$ ¿el volumen habrá disminuido en un $50\%$? ¿el área total habrá disminuido en un $50\%$? Razona las respuestas.

Sea $a$ un parámetro real. Considerad el plano $\pi \equiv 3x - 2y - z = 4$, el punto $P(1, 1, 0)$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ x - az = 1 \end{cases}$$ En cada caso, si existe, obtened el valor del parámetro $a$ para el cual:

El corte vertical de la entrada a la plaza amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación $y = -x^2 + 12$, donde $x$ e $y$ se miden en metros e $y = 0$ representa el suelo. Se desea poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado con piedra. Calcular:

Sea $r$ la recta dada por $\begin{cases} x + z = 1 \ y = -1 \end{cases}$ y sea $s$ la recta definida por $\begin{cases} x = 2 + \lambda \ y = 2 \ z = 2 + 2\lambda \end{cases}$

Sea la función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \ln(1 + x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).