Practica por temas

Se desea construir un depósito cilíndrico de $100\,\text{m}^3$ de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un círculo en posición horizontal de radio $x$ y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. Obtener razonadamente:

Calcular la recta contenida en el plano $\pi_1 \equiv x + y + z = 3$, paralela al plano $\pi_2 \equiv x = 0$, y que pasa por el punto simétrico de $B(1, 1, 1)$ respecto de $\pi_2$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 5\alpha \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 37/2 \\ 11 \end{pmatrix}$, se pide:

Se consideran los tres puntos $A(0, 0, 1)$, $B(1, 1, 1)$ y $C(-1, -1, 2)$. ¿Están alineados? En caso afirmativo hallar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo calcular el plano que los contiene.

Considera la recta $r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$ y el punto $P(2, 1, 0)$.