Practica por temas

3º) Se consideran las siguientes rectas: $r \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{-1}$, $s \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = -2 + 3\lambda. \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$ $a)$ Determina su posición relativa. $b)$ Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} x + (\lambda + 1)y + z = 1 \ \lambda y + z = 0 \ \lambda y + \lambda z = \lambda \end{cases}$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $mx + 5y + 2z = 0$ y la recta $r$ dada por $$\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z - 1}{2}$$

Considere el plano que tiene como vectores directores $\vec{u} = (-1, 3, 2)$ y $\vec{v} = (2, 1, 0)$ y que pasa por el punto $A = (1, 0, 3)$.

Determina la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$f''(x) = -2 \operatorname{sen}(2x), \quad f(0) = 1 \text{ y } f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.$$