Practica por temas

Encuentra un valor de $a \neq 0$ para que las rectas $$\begin{cases} x + y - 5z = -3 \\ -2x + z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad x + 1 = \frac{y - 3}{a} = \frac{z}{2}$$ sean paralelas. Para el valor de $a$ que has encontrado, calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

En $\mathbb{R}^3$, calcule la distancia del punto $P = (1, -1, 2)$ a la recta $r$ que pasa por los puntos $A = (0, -1, 1)$ y $B = (1, 0, 1)$.

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(1, -1, -2)$ y es perpendicular al plano $\alpha: x + 2y + 3z + 6 = 0$. Sea $s$ la recta que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$ y $B(-1, -3, -4)$.

Sean el punto $P(-1, 2, 0)$ y el plano $\pi \colon x + y - z + 2 = 0$ Calcule:

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$, calcúlense $a$ y $b$ para que se verifiquen $|MA| = 2$ y $|M + B| = 3$, donde se está usando la notación habitual (con barras verticales) para denotar al determinante de una matriz.