Practica por temas

Calcule la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma $Ax + By + Cz = D$) del plano que pasa por el punto de coordenadas $(0, 0, 1)$ y es perpendicular a los planos $3x + y - z = 1$ y $x + y + 2z = 5$.

Suponga que un plano $\pi_1$ es perpendicular a un segundo plano $\pi_2$ y que el plano $\pi_2$ es a la vez perpendicular a un tercer plano $\pi_3$. Explique razonadamente si necesariamente los planos $\pi_1$ y $\pi_3$ deben ser perpendiculares entre ellos.

Halla un punto $C$ de $r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $A$.

Calcula los puntos de $r$ que equidistan de los puntos $A$ y $B$.

Halle, si existe, el valor de $a$ para el cual $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1)) = 2.$$

Determine, si existe, $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 + 12x + 1})',$$ donde $(\sqrt{9x^2 + 12x + 1})'$ representa la derivada de $\sqrt{9x^2 + 12x + 1}$.

Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para $a = 0$.

Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.