Practica por temas

Dados el plano $\pi: 5x + y + 3z = 4$ y la recta $r: \begin{cases} ax - y = 2 \\ 2y + z = -3 \end{cases}$, estudie su posición relativa en función del parámetro $a$.

Dados los puntos $P = (1, -1, 2)$, $Q = (2, 0, 1)$ y $R = (3, 2, -1)$,

Calcula $\int_{2}^{4} \frac{e^x}{1 + \sqrt{e^x}} dx$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t = \sqrt{e^x}$.

Un espejo plano, cuadrado, de $80\,\text{cm}$ de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos $32\,\text{cm}$ y $40\,\text{cm}$ respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular $R$, uno de cuyos vértices es el punto $(x, y)$ (véase la figura).

Determina el punto de la recta $r \equiv \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = z + 1$ que equidista de los planos $$\pi_1 \equiv x - y + 3z + 2 = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2 \equiv \begin{cases} x = -4 + \lambda - 3\mu \\ y = 1 + \lambda \\ z = \mu \end{cases}$$