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Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + y + z = \lambda + 1 \\ 3y + 2z = 2\lambda + 3 \\ 3x + (\lambda - 1)y + z = \lambda \end{cases}$$

Se dispone de dos urnas: $U_1$ y $U_2$. En $U_1$ hay: 4 bolas rojas y 5 bolas negras. En $U_2$ hay: 6 bolas rojas y 3 bolas negras. Al azar se saca una bola de $U_1$ y se introduce en $U_2$, a continuación se extrae al azar una bola de $U_2$. Calcula la probabilidad de que:

Dados los puntos $A = (0, 0, 2)$ y $B = (1, 1, 0)$ y la recta $r : \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}$. Calcular un punto $P \in r$ para que el triángulo $ABP$ tenga un ángulo recto en el punto $A$.

Calcular las coordenadas de un punto de la recta $r : \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$ que equidiste de los planos $$3x + 4y - 1 = 0 \quad \text{y} \quad 4x - 3y + 9 = 0$$

Dada las matrices: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & 0 & \alpha \\ 1 & \beta & \gamma \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$ se pide: