Practica por temas

Se dice que una matriz cuadrada $A$ es ortogonal si cumple que $A^t \cdot A = I$, donde $I$ denota la matriz identidad y $A^t$ es la traspuesta de $A$. Determine para qué valores de los parámetros $a$ y $b$ la siguiente matriz es ortogonal $$A = \begin{pmatrix} a & -a & b \\ a & a & 0 \\ 0 & b & -1 \end{pmatrix}$$

Determina el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & a \\ a & a - 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ En caso de existir, calcula la inversa de $A$ para $a = 1$. Si no existe tal inversa explica porqué.

Sea la función $$f(x) = x e^{1/x^3}$$ Determinar el dominio y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan.

Demuestra que la función $$f(x) = \sqrt{\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{2} 2^x\right)}$$ vale $1/2$ en algún punto del intervalo $(0, 1)$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.