Practica por temas

Resolver la siguiente ecuación matricial $X \cdot A = B - C$, siendo $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Sean $F_1, F_2$ y $F_3$ las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente $3F_1 - F_3, F_2$ y $2F_3$.

Si juega 100 veces, calcular la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones.

Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que $3/4$. Justificar si esta afirmación es cierta o no.

Halle los valores de $a, b, c, x$, para los cuales $A$ es simétrica (recuerde que la matriz $A$ es simétrica si $A^t = A$).

Si $a = b = c = 1$, halle los valores de $x$ para los cuales $A$ tiene inversa.

Calcule los extremos relativos (máximos y mínimos) de $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{e^x}$, definida para todo valor de $x \in \mathbb{R}$. Determine también los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

Calcule $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$

Calcula la siguiente integral: $I = \int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx$.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$. Calcula el determinante de $A$ y de $A \cdot A$. ¿Cuál crees que será el determinante de $n$ veces $A$ (con $n > 2$ y entero)? Justifica y razona tu respuesta.