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Dadas las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ 1 & a & 1 \\ a - 1 & a & 2 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$ se pide:

1º) Discute la existencia de solución del sistema $\begin{cases} ax + 4y + z = 3 \\ ax - 5y + 2z = -2, \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$ en función de los valores del parámetro $a$. Resuelve el sistema, si es posible: $a)$ Cuando $a = 0$. $b)$ Cuando $a = 1$.

Considere el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} a^2x + ay + z = -1 \\ ax + ay + a^2z = 0 \end{cases}$$

Calcula los siguientes límites:

Determina el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & a \\ a & a - 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ En caso de existir, calcula la inversa de $A$ para $a = 1$. Si no existe tal inversa explica porqué.