Practica por temas

Sean $A$ una matriz $3 \times 3$, $B$ una matriz $3 \times 1$ y no nula, $O$ la matriz nula (cero) $3 \times 1$. Considera los dos sistemas de ecuaciones lineales siguientes: $$AX = B \quad \text{y} \quad AX = O$$ Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En el caso de que consideres que la afirmación es falsa pon un ejemplo ilustrativo.

Determinar el rango de la matriz $A(a)$ según los valores de $a$. $$A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a + 1 & 1 \\ a & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Sabemos que una función $f$ tiene por derivada la función $f'(x) = (3x - 2)^2 \cdot (x - 2)$.

Considera la función $f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}$$

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ calcula $A^{57}$ y $A^{-68}$.