Practica por temas

Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista $$f(x) = \begin{cases} \sen 2x + \frac{1}{3} \cdot e^{-2x}, & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x + 1}{3} + \ln(x + 1), & \text{si } 0 < x < 2 \\ \sqrt{x^2 - 2x}, & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de $4 + \pi \text{ m}^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito.

Hallar el valor de $m$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} 6 - m(x + 2)^2 & \text{si } x \leq -1 \\ 3 + \frac{2}{m(x + 2)} & \text{si } x > -1 \end{cases}$$ sea derivable en $x = -1$.

Dada la función $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + a}{2x - 4} & x \leq 0 \\ 10x^2 + x + b & x > 0 \end{cases}$ Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$. Dar las expresiones de la función $f(x)$ y de su derivada $f'(x)$.

En una circunferencia de radio $10\,\text{cm}$, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a ella. ¿Qué longitud debe tener cada uno de estos dos diámetros para que sea máxima el área delimitada por las tres circunferencias (región sombreada)?