Practica por temas

Encuentre todas las matrices de la forma $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}$ que sean inversas de ellas mismas, es decir, que $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Ciertos síntomas pueden deberse a tres enfermedades diferentes que no se padecen de forma simultánea. Con una probabilidad $0{,}7$ se deben a la enfermedad 1 ($E_1$), con una probabilidad $0{,}2$ a la enfermedad 2 ($E_2$) y con una probabilidad $0{,}1$ a la enfermedad 3 ($E_3$). Existen tres tratamientos diferentes, el A es el adecuado para $E_2$, el B para $E_3$ y el C para $E_1$. Así y todo, cada uno de los tratamientos tiene cierto poder de curación de cada una de las enfermedades. La probabilidad de ser curado con cierto tratamiento cuando se tiene cierta enfermedad viene dada para cada tratamiento y enfermedad por la siguiente tabla. Note que, de acuerdo con la misma, la probabilidad de curarse con el tratamiento A cuando se tiene $E_3$ es de $0{,}4$. ¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece?

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$:

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} a^2 & a & a \\ a & a^2 & 1 \\ a & 1 & a^2 \end{pmatrix}$$