Practica por temas

Un segmento de longitud fijada $m$ se apoya sobre los ejes de coordenadas. Calcule el valor del ángulo $\alpha$ que forma el segmento con el eje $OX$ para que el triángulo rectángulo determinado por el segmento con los ejes y del cual $m$ es la hipotenusa tenga área máxima. Compruebe que se trata realmente de un máximo.

Se quiere construir una ventana rectangular de $1$ metro cuadrado de área. El coste del marco es de $12{,}5$ € por cada metro de altura y de $8$ € por cada metro de anchura. ¿Qué dimensiones debe tener la ventana para que el marco resulte lo más económico posible?

Sea la función $f(x) = (x^{2} - 3x + 10)^{\log [2^{x - 1} \cdot \sen \frac{\pi (x + 2)}{6}]}$

Dada la función $$f(x) = x \left(\sqrt{2x^2 + 3x + 2}\right)^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{4}$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dada la función $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax - 6, a \in \mathbb{R}$, se pide: