Practica por temas

La imagen siguiente muestra dos paredes perpendiculares de una sala representadas en unos ejes de coordenadas, de manera que una pared está en el plano $y = 0$ y la otra está en el plano $x = 0$. En el punto $A = (2, 0, 2)$ queremos colgar un altavoz que debe estar conectado a un equipo de sonido, el cual está situado en la otra pared, en el punto $B = (0, 2, 1)$. La conexión entre $A$ y $B$ la haremos mediante un cable que pase por el punto $C = (0, 0, h)$, situado en la recta vertical de intersección de las dos paredes. Como la calidad del sonido depende, entre otros factores, de la longitud del cable que une los dos aparatos, queremos hacer una instalación con el mínimo de cable posible.

Considere la función $f(x) = x \sqrt{18 - x^2}$ con $-4 < x < 4$.

Demuestra que existen $\alpha \in (-1, 1)$ y $\beta \in (-1, 1)$, $\alpha \neq \beta$, tales que $f'(\alpha) = f'(\beta) = 0$ siendo $$f(x) = (x^3 + 1) e^{\sqrt[3]{3x + 2}} \sqrt[3]{(x - 1) \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$$

Calcula el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$, para que el siguiente límite sea finito y calcula el valor de dicho límite $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) - a \sen(x) + 3x \cos(2x)}{x^2}.$$