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Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$ $$\begin{cases} x - y + mz = 0 \\ 4x - 3y + 2z = m \\ -mx + y - z = 1 - m \end{cases}$$

Calcula la solución cuando el sistema sea compatible indeterminado.

Enuncia el teorema de Rolle. Determina el valor de $a$ para que sea aplicable el teorema de Rolle a la función $f(x) = x^3 + ax - 1$, en el intervalo $[0, 1]$. Para este valor de $a$, calcula un punto $c \in (0, 1)$ en el que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ sea paralela al eje $OX$.

Calcula $\int \frac{x^3 + 3}{x^2 - x} dx$.

Discútelo según los valores del parámetro $a$.

Resuélvelo cuando sea posible.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ y tal que $|A| = 2$. ¿Tiene inversa la matriz $A^4$? Calcular $|5A^{-1}|$ y $|(5A)^{-1}|$.

¿Para qué valores del parámetro $a$ el rango de la matriz $\begin{pmatrix} a+1 & 6 \\ 2 & a \end{pmatrix}$ es $1$?

Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de $m$ y resuélvalo para los valores de $m$ siguientes: $m = -1$ y $m = 2$. $$\mathbf{AX} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{donde} \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Determine la inversa de la matriz $A$ cuando $m = 0$.