Practica por temas

La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El perímetro del rectángulo es de $100$ metros. Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máxima.

Un vendedor de coches estima las siguientes probabilidades para el número de coches que vende en una semana: Calcule el número esperado de coches que venderá en una semana. Si el vendedor recibe un salario semanal de $25.000$ pesetas, más $25.000$ pesetas adicionales por cada coche vendido, ¿Cuál es la probabilidad de que una semana su salario sea inferior a $100.000$ pesetas en el supuesto de que se sepa que es superior a $25.000$ pesetas?

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} ax + (a - 2)y = a - 2 \\ ax + (a^2 - 2a)y + 2z = a \\ 3ax + (a^2 - 4)y + z = 4a - 4 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Comprueba que la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 2 & \text{si } x \leq 2 \\ 6 - 2x & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ está definida y es continua en todo $\mathbb{R}$. Encuentra sus extremos relativos y absolutos en el intervalo $[-1, 3]$.

Sea la función $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3$.