Practica por temas

Un pueblo está situado en el punto $A(0, 4)$ de un sistema de referencia cartesiano. El tramo de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva $y = \frac{x^2}{4}$, siendo $-6 \leq x \leq 6$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sea la función derivable $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \begin{cases} ae^{-x} + b \ln(1 - x) & \text{si } x < 0 \\ x + \ln(1 + x) & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + 2y + (m + 3)z = 3 \\ x + y + z = 3m \\ 2x + 4y + 3(m + 1)z = 8 \end{cases}$$

Sea la función $f(x) = a \cdot e^{-x^2 + bx}$ con $a \neq 0$ y $b \neq 0$.

Dada la función $f(x) = Ax^3 + Bx$, sabemos que pasa por el punto $P(1, 1)$ y además que en ese punto tiene tangente paralela a la recta $y = -3x$.