Practica por temas

Se da el sistema de ecuaciones $S: \begin{cases} 2x + \alpha^2 z = 5 \\ x + (1 - \alpha)y + z = 1 \\ x + 2y + \alpha^2 z = 1 \end{cases}$, donde $\alpha$ es un parámetro real. Obtener razonadamente:

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Determina $a, b$ y $c$, sabiendo que $AB = C$ y la matriz $A$ tiene rango 2.

Sea la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023: Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$