Practica por temas

Considere la matriz y los vectores siguientes: $$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$ donde $x$, $y$ y $z$ son números reales. Determine $x$, $y$ y $z$ para que el vector $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ sea solución del sistema $\mathbf{M} \mathbf{A} = \mathbf{B}$.

Sean ahora la matriz y vectores siguientes: $$\mathbf{N} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales que verifican que $a \neq 0$, $a + b = 0$, $c = a$. Determine si el sistema $\mathbf{N} \mathbf{X} = \mathbf{B}$ es compatible determinado.

Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{1 + 2x - e^{2x}}$.

Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x) = x(\ln x - 1)$. Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de la función $f$.

Calcula razonadamente un valor de $\lambda$ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación $x + y + \lambda z = 9$ sea compatible indeterminado.

¿Existe algún valor de $\lambda$ para el cual el sistema resultante no tiene solución?

Exprese $I$ aplicando el cambio de variable $x = t^2$.

Calcule el valor de $I$.