Practica por temas

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de $4 + \pi \text{ m}^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito.

Si una bombilla fluorescente presenta un 90% de posibilidades de tener una vida útil de al menos 800 horas, seleccionando 20 bombillas fluorescentes de este tipo, justificar si las siguientes afirmaciones son ciertas:

Sea $f$ la función dada por $f(x) = \frac{3x^2 + 4}{(x - 2)^2}$ para $x \neq 2$.

Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $f(x) = 4x^3 - 2x + 1$ que son paralelas a la recta $y = 10x + 2$. Estudiar los máximos y mínimos de $f$.