Matemáticas CCSS · Galicia 2006

Determinar la matriz $X$ en la siguiente ecuación matricial $A^2 X = \frac{1}{2}(A + B \cdot C)$, siendo

La función $f$ definida por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ verifica que su gráfica pasa por el punto $(-1, 0)$ y tiene un máximo relativo en el punto $(0, 4)$.

Una investigación de mercado de 800 personas reveló los siguientes hechos sobre la capacidad de recordar un anuncio televisivo de un producto en particular y la adquisición de dicho producto:

Dada la ecuación matricial $X \cdot A + B^t = 2X$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$ y

La cantidad de agua (en $\text{hm}^3$) de un embalse durante el último año viene dada por la función $$C(t) = \frac{210000}{(2t - k)^2 + 6}, 0 \leq t \leq 12$$ donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses.

En un estudio hecho en cierto IES, en el que se imparte la ESO y el Bachillerato, se recogieron los siguientes datos: – El 60% de los alumnos son mujeres. – El 15% de los hombres estudian Bachillerato. – El 20% de las mujeres estudian Bachillerato. – El 30% de las mujeres que estudian Bachillerato eligen la opción de letras.

Un granjero dispone de un máximo de 45 hectáreas en las que quiere sembrar dos tipos de cultivo A y B, esperando obtener un beneficio de $120$ € por hectárea de A y $180$ € por hectárea de B. Calcula que va a tener como máximo 600 horas de trabajo disponibles durante la estación de siembra y que va a precisar de 10 horas por hectárea de A y 40 horas por hectárea de B. Además, el tipo de cultivo exige que las hectáreas dedicadas al cultivo tipo B no superen a las del tipo A.

En un hospital el número $N$ de personas afectadas por una cierta infección vírica, después de $t$ semanas, viene dado por la función $$N(t) = \frac{350t}{2t^2 + kt + 8} \text{ siendo } t \geq 0$$

Una explotación maderera dedicada a la plantación y recolección de pinos y eucaliptos decide repoblar uno de sus montes. Según un estudio de los técnicos, para que sea rentable la explotación se han de plantar entre 2 y 15 hectáreas de pinos y entre 6 y 25 hectáreas de eucaliptos. Además, el coste por hectárea de pinos es de 500 euros y el coste por hectárea de eucaliptos es de 300 euros, contando con un presupuesto máximo de 12000 euros para la explotación en proyecto. Tras la cosecha de la madera los ingresos obtenidos son de 2200 euros por cada hectárea de pinos y de 1500 euros por cada hectárea de eucaliptos.

Un vendedor de pólizas de seguros tiene un sueldo fijo mensual de 1000 euros, más una comisión que viene dada por la función $17x - 0{,}0025x^3$, donde $x$ representa el número de pólizas vendidas. Si el vendedor tiene mensualmente un gasto general de 200 euros, más otro de 5 euros por póliza contratada, calcular el número de pólizas que debe contratar mensualmente para que su ganancia sea máxima, ¿a cuánto asciende dicha ganancia?

Un fabricante de lámparas de bajo consumo sabe que el tiempo de duración, en horas, de las lámparas que fabrica sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 180 horas. Con una muestra de dichas lámparas, elegida al azar, y un nivel de confianza del 97%, obtuvo para la media el intervalo de confianza $(10072{,}1, 10127{,}9)$.