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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2004Ordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2004

12 ejercicios

Instrucciones

El alumno debe resolver solo un ejercicio de cada uno de los tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada uno de los ejercicios: Álgebra 3 ptos; Análisis 3,5 ptos; Estadística 3,5 ptos.

Ejercicio 1 · A · ÁLGEBRA

1Opción A
3 puntos
Álgebra
Tres trabajadores A,BA, B y CC, al finalizar un determinado mes, presentan a su empresa la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de manutención y Km. de desplazamiento que hicieron cada uno de ellos: Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: xx euros por hora trabajada, yy euros por cada dieta y zz euros por Km. de desplazamiento y que paga ese mes un total de 924924 euros al trabajador AA, 13901390 euros al BB y 646646 euros al CC, calcular x,y,zx, y, z.
HORAS DE TRABAJODIETASKILÓMETROS
A4010150
B6015250
C306100
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Ejercicio 1 · A · ANÁLISIS

1Opción A
3,5 puntos
Análisis
La función de coste total de producción de xx unidades de un determinado producto es C(x)=x3100+8x+20C(x) = \frac{x^3}{100} + 8x + 20.
a
Se define la función de coste medio por unidad como Q(x)=C(x)xQ(x) = \frac{C(x)}{x}, ¿cuántas unidades x0x_0 es necesario producir para que sea mínimo el coste medio por unidad?2 pts
b
¿Qué relación existe entre Q(x0)Q(x_0) y C′(x0)C'(x_0)?1,5 pts
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Ejercicio 1 · A · ESTADÍSTICA

1Opción A
3,5 puntos
Estadística
En una empresa, el 20%20\% de los trabajadores son mayores de 4545 años, el 8%8\% desempeña algún puesto directivo y el 6%6\% es mayor de 4545 años y desempeña algún puesto directivo.
a
¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene más de 4545 años y no desempeña ningún cargo directivo?1 pt
b
¿Qué porcentaje de los trabajadores no es directivo ni mayor de 4545 años?1 pt
c
Si la empresa tiene 150150 trabajadores, ¿cuántos son directivos y no tienen más de 4545 años?1,5 pts
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Ejercicio 1 · B · ÁLGEBRA

1Opción B
3 puntos
Álgebra
Sean las matricesA=(5x22x2x−2)B=(1y)C=(3zz2z)D=(23/2−3/2)A = \begin{pmatrix} 5x & 2 \\ 2x & 2 \\ x & -2 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ y \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 3z \\ z \\ 2z \end{pmatrix} \quad D = \begin{pmatrix} 2 \\ 3/2 \\ -3/2 \end{pmatrix}
a
Calcular la matriz (A⋅B)+C(A \cdot B) + C.1 pt
b
Sabiendo que (A⋅B)+C=2D(A \cdot B) + C = 2D, formular un sistema de ecuaciones y encontrar los valores de x,y,zx, y, z.2 pts
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Ejercicio 1 · B · ANÁLISIS

1Opción B
3,5 puntos
Análisis
Los beneficios (en millones de euros por año) estimados para una empresa se ajustan a la siguiente función:B(x)=5xx2+4,x≥0B(x) = \frac{5x}{x^2 + 4}, \quad x \geq 0donde BB representa los beneficios de la empresa y xx los años transcurridos desde el momento de su constitución (x=0x = 0).
a
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de B(x)B(x). ¿Qué información nos dan sobre la evolución de los beneficios a lo largo del tiempo?2,5 pts
b
¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el máximo beneficio? ¿Cuál es este beneficio máximo?1 pt
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Ejercicio 1 · B · ESTADÍSTICA

1Opción B
3,5 puntos
Estadística
Una comisaría de policía metropolitana está formada por 12001200 agentes: 960960 hombres y 240240 mujeres. A lo largo de los dos últimos años fueron ascendidos 324324 agentes. En la siguiente tabla se muestra el reparto específico de los ascensos para agentes masculinos y femeninos:
ASCENDIDOSNO ASCENDIDOSTOTAL
HOMBRES288672960
MUJERES36204240
TOTAL3248761200
a
Calcular la probabilidad de ascenso para un agente del sexo masculino.1 pt
b
Calcular la probabilidad de ascenso para una agente del sexo femenino.1 pt
c
En esta comisaría, ¿el ascenso es dependiente o independiente del hecho de ser el policía hombre o mujer? Justifíquese la respuesta.1,5 pts
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Ejercicio 2 · A · ÁLGEBRA

2Opción A
3 puntos
Álgebra
Un concesionario de coches comercializa dos modelos de automóviles: un de gama alta, con el que gana 10001000 euros por unidad vendida y el otro de gama baja con unos beneficios por unidad vendida de 600600 euros. Por razones de mercado, la venta anual de estos modelos está sujeta a las siguientes restricciones: • El número de modelos de gama alta vendidos no será menor de 5050 ni mayor de 150150 coches. • El número de modelos de gama baja vendidos tendrá que ser mayor o igual al de modelos de gama alta vendidos. • El concesionario puede vender hasta un máximo de 500500 automóviles de los dos modelos al año.
a
Formular las restricciones y representar gráficamente la región factible.2,5 pts
b
¿Cuántos automóviles de cada modelo debe vender anualmente con el fin de maximizar los beneficios?0,5 pts
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Ejercicio 2 · A · ANÁLISIS

2Opción A
3,5 puntos
Análisis
Una enfermedad se propaga de tal manera que, después de tt semanas afectó a N(t)N(t) cientos de personas, dondeN(t)={5−t2(t−6)para 0≤t≤6−54(t−10)para 6<t≤10N(t) = \begin{cases} 5 - t^2(t - 6) & \text{para } 0 \leq t \leq 6 \\ -\frac{5}{4}(t - 10) & \text{para } 6 < t \leq 10 \end{cases}
a
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de N(t)N(t). Calcular el máximo de personas afectadas y la semana en la que se presenta ese máximo. Calcular también la semana en la que se presenta el punto de inflexión en el número de personas afectadas.2,5 pts
b
¿A partir de qué semana la enfermedad afecta a 250250 personas como máximo?1 pt
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Ejercicio 2 · A · ESTADÍSTICA

2Opción A
3,5 puntos
Estadística
Se sabe que el gasto semanal (en euros) en ocio para los jóvenes de una cierta ciudad sigue una distribución normal con desviación típica σ\sigma conocida.
a
Para una muestra aleatoria de 100100 jóvenes de esa ciudad, el intervalo de confianza al 95%95\% para el gasto medio semanal μ\mu es (27,33)(27, 33). Calcular la correspondiente media muestral y el valor de σ\sigma.2 pts
b
¿Qué número de jóvenes tendríamos que seleccionar al azar, como mínimo, para garantizar, con una confianza del 95%95\%, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 22 euros semanales?1,5 pts
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Ejercicio 2 · B · ÁLGEBRA

2Opción B
3 puntos
Álgebra
En una emisora de radio se detectó que un programa A que dedica 2020 minutos a información general y 2020 minutos a música, capta un total de 30.00030.000 oyentes, mientras que un programa B que dedica 3030 minutos a información general y 1010 minutos a música capta 20.00020.000 oyentes. En un determinado período, se decide dedicar un máximo de 300300 minutos a información general y 140140 minutos a música. Si se desea que el número de oyentes sea máximo, ¿cuántas veces deberá emitirse cada uno de los programas A y B en ese período? Representar gráficamente la región factible.
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Ejercicio 2 · B · ANÁLISIS

2Opción B
3,5 puntos
Análisis
Se compra un equipo industrial en 19901990 (x=0x = 0) y se sabe que genera unos ingresos de R(x)=6125−1254x2R(x) = 6125 - \frac{125}{4}x^2 (miles de euros anuales) xx años después de comprarlo. Al mismo tiempo, los costes de funcionamiento y mantenimiento son C(x)=2000+10x2C(x) = 2000 + 10x^2 miles de euros anuales.
a
Representar las gráficas de las funciones R(x)R(x) y C(x)C(x).1 pt
b
¿Durante cuántos años fue rentable el equipo?1,25 pts
c
¿En qué año el beneficio fue máximo y a cuánto ascendió el mismo?1,25 pts
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Ejercicio 2 · B · ESTADÍSTICA

2Opción B
3,5 puntos
Estadística
Para determinar la edad promedio de sus clientes, un fabricante de ropa para caballero toma una muestra aleatoria de 5050 clientes y calcula su edad media =36= 36 años. Si se sabe que la variable edad sigue una distribución normal con desviación típica σ=12\sigma = 12 años, determinar:
a
con un 95%95\% de confianza el intervalo de la media de edad de todos los clientes.2 pts
b
si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 22 años de la media de la población, con probabilidad 0,950{,}95, ¿cuántos clientes se deberían tomar como mínimo en la muestra?1,5 pts
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