Practica por temas

En una cierta población el consumo de agua (en $\text{m}^3$) en función de las horas del día, viene dado por $$C(t) = \begin{cases} \frac{17}{9}t, & \text{si } 0 \leq t < 9 \\ \alpha t^2 + \beta t - 172, & \text{si } 9 \leq t < 20 \\ 168 - 7t, & \text{si } 20 \leq t < 24 \end{cases}$$ Sabiendo que la función es continua en el intervalo $(0, 20)$, y que a las $15$ horas se alcanza el máximo consumo de agua, determinar $\alpha$ y $\beta$.

Consideramos la función definida a trozos siguiente: $$f(x) = \begin{cases} -4x + a & \text{si } x \leq -2 \\ x^2 - 5 & \text{si } -2 < x < 1 \\ -7x + 3 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

Un pastor elabora quesos de oveja y de cabra. Los gastos de producción de cada queso de oveja ascienden a 10€ con unos beneficios de 5€. Por otra parte, fabricar cada queso de cabra le cuesta 15€ y le reporta unos beneficios de 11€. Se sabe que diariamente dispone de 300€ para la fabricación de estos quesos y que, para atender a las exigencias del mercado, debe fabricar, al menos, un total de 25 unidades entre los dos tipos de queso. Además, por normativa sanitaria, el número de quesos de oveja más el doble de los de cabra no puede superar las 30 unidades. Calcular, razonando la respuesta, el número de quesos de cada tipo que deben fabricarse diariamente para obtener unos beneficios máximos, así como el valor de dichos beneficios máximos.

Una compañía química diseña dos posibles tipos de cámaras de reacción que incluirán en una planta para producir dos tipos de polímeros $P_1$ y $P_2$. La planta debe tener una capacidad de producción de, al menos 100 unidades de $P_1$ y al menos 420 unidades de $P_2$ cada día. Cada cámara de tipo A cuesta 600.000 euros y es capaz de producir 10 unidades de $P_1$ y 20 unidades de $P_2$ por día; la cámara de tipo B es un diseño más económico, cuesta 300.000 euros y es capaz de producir 4 unidades de $P_1$ y 30 unidades de $P_2$ por día. Debido al proceso de diseño, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo y aun así satisfacer el programa de producción requerido? Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. Representa la región factible y calcula sus vértices.

Se considera la función real de variable real definida por $$f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$$