Matemáticas CCSS · Galicia 2009

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}, E = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}$$ Calcula los valores de los números reales $x, y, z$, para que se verifique la siguiente igualdad entre matrices: $$x \cdot A^{-1} \cdot B = E + y \cdot C + z \cdot D$$

Para un programa de ayuda se estima que el número de beneficiarios $n$ (en miles) durante los próximos $t$ años, se ajustará a la función $n(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{9}{2}t^2 + 18t, 0 \leq t \leq 9$.

La tabla siguiente muestra el número de defunciones por grupo de edad y sexo en una muestra de 500 fallecimientos de cierta región:

Considera las matrices A, B, C y D siguientes: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} -2x \\ 4 \\ y \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \quad D = \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix}$$

Un individuo invirtió en acciones de cierta compañía durante los últimos 12 meses. El valor V de su inversión, en euros, en el transcurso de $t$ meses se estima por la función $V(t) = -2t^3 + 9t^2 + 240t + 1200$, siendo $0 \leq t \leq 12$.

Una empresa quiere comercializar una herramienta eléctrica para la construcción y por lo tanto es probada por 3 de cada 5 trabajadores del sector. De los que la probaron, el 70% da una opinión favorable, el 5% da una opinión desfavorable y el resto opina que le es indiferente. De los que no probaron la herramienta, el 60% da una opinión favorable, el 30% opina que le es indiferente y el resto da una opinión desfavorable. Se sabe que la empresa comercializará la herramienta si al menos el 65% de los trabajadores del sector da una opinión favorable.

Una compañía química diseña dos posibles tipos de cámaras de reacción que incluirán en una planta para producir dos tipos de polímeros $P_1$ y $P_2$. La planta debe tener una capacidad de producción de, al menos 100 unidades de $P_1$ y al menos 420 unidades de $P_2$ cada día. Cada cámara de tipo A cuesta 600.000 euros y es capaz de producir 10 unidades de $P_1$ y 20 unidades de $P_2$ por día; la cámara de tipo B es un diseño más económico, cuesta 300.000 euros y es capaz de producir 4 unidades de $P_1$ y 30 unidades de $P_2$ por día. Debido al proceso de diseño, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo y aun así satisfacer el programa de producción requerido? Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. Representa la región factible y calcula sus vértices.

Un modelo para los costos de almacenamiento y envío de materiales para un proceso de manufactura, viene dado por la función $C(x) = 100 \left( 100 + 9x + \frac{144}{x} \right), 1 \leq x \leq 100$, siendo $C(x)$ el costo total (en euros) de almacenamiento y transporte y $x$ la carga (en toneladas) de material.

Un alfarero elabora dos tipos de piezas: porrones y ollas, en cantidades reducidas. Sabe que no puede producir más de 8 piezas diarias ni tampoco más de 4 ollas diarias. También, por motivos de producción, desea que el número de porrones no supere al número de ollas en más de dos piezas. Si obtiene un beneficio de 6 euros por cada porrón y de 4 euros por cada olla, ¿cuántas piezas de cada tipo deberá elaborar cada día para obtener un beneficio máximo?, ¿cuál será este beneficio? Representar gráficamente la región factible y calcular sus vértices.

Una organización humanitaria planea una campaña para recaudar fondos en una ciudad. Se sabe, por experiencias anteriores, que el porcentaje P de habitantes de la ciudad que hará un donativo es una función del número de días $t$ que dure la campaña, estimada por $P(t) = 40(1 - e^{-0{,}05t}), t \geq 0$.

Un diseñador industrial desea estimar el tiempo medio que tarda un adulto en ensamblar un cierto tipo de juguete. Por experiencias previas conoce que la variable tiempo de ensamblaje sigue una distribución normal, con media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 5$ minutos.