Practica por temas

Una pastelería decide preparar dos tipos de cajas de pastelitos para regalar a los clientes en su inauguración. En total dispone de 120 piononos y 150 pestiños. En la caja del primer tipo habrá 3 piononos y 2 pestiños y en la del segundo tipo 4 piononos y 6 pestiños. Deben preparar al menos 9 cajas del segundo tipo. Determine cuántas cajas de cada tipo deberá preparar para realizar el máximo número de regalos posible. En este caso, indique cuántos piononos y cuántos pestiños se utilizarán.

La imagen que aparece a continuación muestra la región factible asociada con el conjunto de restricciones de un cierto problema de optimización.

Se considera la función $f(x) = ax^3 + bx + 11$

El precio de un artículo, que ha estado los últimos 6 años en el mercado, en función del tiempo $t$ (en años) ha seguido la siguiente función: $$f(t) = \begin{cases} 3t^2 + 4 & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\ -2t + 20 & \text{si } 2 < t \leq 6 \end{cases}$$

Una tienda de artesanía de calzado fabrica zapatos y botas. Cada par de zapatos requiere $1$ hora de trabajo y $0{,}5\,\text{m}^2$ de piel y cada par de botas $1$ hora de trabajo y $1\,\text{m}^2$ de piel, siendo el beneficio obtenido de $50$ euros por cada par de zapatos y de $80$ euros por cada par de botas. Si solo dispone de $50$ horas de trabajo y de $40\,\text{m}^2$ de piel, ¿cuántos pares de zapatos y de botas debe fabricar para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es dicho beneficio máximo? Justificar las respuestas.