Practica por temas

Considere la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & a + 1 & (a + 1)^2 \\ 1 & a - 1 & (a - 1)^2 \end{pmatrix}$ para $a \in \mathbb{R}$.

Calcular el siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix}$$

Tres hermanos quieren repartirse de forma equitativa un total de 540 acciones valoradas en 1560 euros, que corresponden a tres empresas A, B y C. Sabiendo que el valor actual en bolsa de la accion A es el triple que el de B y la mitad que el de C, que el numero de acciones de C es la mitad que el de B y que el actual valor en bolsa de la accion B es 1 euro, encuentre el numero de cada tipo de accion que le corresponde a cada hermano.

Calcula los valores de $t$ para los que el rango de la matriz $A \cdot B$ es máximo, siendo $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & t - 1 \\ 1 & t & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} t + 1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t + 1 \\ t + 1 & t + 1 & -t - 1 \end{pmatrix}$$

Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: