Practica por temas

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el $75\%$ de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido $8$ horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$: $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 2 \end{cases}$$ Resuelve el sistema en los casos $\alpha = 1$ y $\alpha = 2$.

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

Dadas las funciones $f(x) = -x^2$ y $g(x) = x^3$

Enunciar el teorema de Rouché-Fröbenius. Aplicar dicho teorema para discutir si el sistema siguiente tiene solución y si la solución es única en función de los posibles valores del parámetro $k$ (no es necesario resolver el sistema).