Practica por temas

Se da el sistema de ecuaciones $\begin{cases} x + 3y + z = \alpha \\ x + y - \alpha z = 1 \\ 2x + \alpha y - z = 2\alpha + 3 \end{cases}$, donde $\alpha$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

**E8.- (Análisis)** Calcular: a) $\lim_{x \to 0} \dfrac{x(e^x-1)}{\cos(x)-1}$. **(1 punto)** b) $\displaystyle\int_0^2 e^{-x}(x-1)\,dx$. **(1 punto)**

Considere las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} a & a \\ -1 & a \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

Encuentra un vector de módulo $1$ que sea ortogonal a los vectores de coordenadas $(1, 0, 1)$ y $(1, 2, 0)$.

Dentro de un grupo de estudiantes que realiza un examen hay tres a los que les sale mejor de lo que esperaban. Estos son Antonio, María y Paula. Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la nota de María. El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula y Paula saca dos puntos más que Antonio. Razone si el enunciado expuesto es posible. En caso afirmativo, calcule la nota de cada estudiante.