Practica por temas

Dada la función $$f(x) = \frac{(x^3 - x + 2) \ln \sqrt{e^{4x + 7}}}{2x^4 + x^2 + 1}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 1$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, se pide:

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = |x^2 - 4|$

Dada la siguiente expresión de la función $f$, de la que se desconocen algunos valores: $$f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x} - \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en todo su dominio. Escribir la función resultante.

Sean los siguientes vectores: $$\vec{u}_1 = (-1, 1, 1), \qquad \vec{u}_2 = (0, 3, 1), \qquad \vec{u}_3 = (1, -2, 0), \qquad \vec{u}_4 = (-2, 0, 1)$$