Practica por temas

Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.

Aplicando a la función $f(x) = x^3 + 2x$ el anterior teorema, pruebe que cualesquiera que sean los números reales $a < b$ se cumple la desigualdad $a - b < b^3 - a^3$.

Sea la función $f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3$. Obtén sus máximos y mínimos relativos.

Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas sin reemplazamiento y se obtiene una puntuación igual a la suma de los valores correspondientes.

Determine el polinomio $f(x)$, sabiendo que $f'''(x) = 12$, para todo $x \in \mathbb{R}$ y además verifica: $f(1) = 3; f'(1) = 1; f''(1) = 4$.

Determine el polinomio $g(x)$, sabiendo que $g''(x) = 6$, para todo $x \in \mathbb{R}$ y que además verifica: $$\int_{0}^{1} g(x) dx = 5, \quad \int_{0}^{2} g(x) dx = 14.$$

Estudiar si la función $f: [0, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ -\frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1 & \text{si } 1 < x \leq 2 \end{cases}$$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema.

Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - e^{-x} - x}{x \sen(x)}$.