Practica por temas

Calcula $$\int \frac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}} \quad (\text{Sugerencia: } \sqrt{x + 2} = t).$$

Sean $A(1, 2, 3), B(1, 0, -1)$ y $C(2, 2, 2)$ tres puntos en el espacio y $\vec{v}_1$ el vector que va de $A$ a $B$; $\vec{v}_2$ el vector que va de $B$ a $C$ y $\vec{v}_3$ el vector que va de $C$ a $A$.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + b} - 2 & \text{si } x \leq -\sqrt{2} \\ 2 - x^2 & \text{si } -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x^2 \ln(x^2 - a) & \text{si } \sqrt{2} \leq x \end{cases}$$ donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

En la sucesión de los $210$ primeros números naturales: $$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \dots, 210$$ se suprimen los múltiplos de $7$. Calcular razonadamente la suma de los términos restantes.

a) Dados los vectores $\vec{u} = (2,1,0)$, $\vec{v} = (5,0,1)$ y $\vec{w} = (a,b,1)$, calcular $a$ y $b$ para que $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente dependientes. (1 punto) b) Calcular el volumen del paralelepípedo que forman $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{z} = (1,2,1)$. (1 punto)