Practica por temas

Si el producto de dos matrices cuadradas $A$ y $B$ es conmutativo, es decir que $AB = BA$, entonces se deduce que $A^2 B^2 = (AB)^2$.

Que la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 10 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix}$ satisface la relación $A^2 - 3A + 2I = O$, siendo $I$ y $O$, respectivamente, las matrices de orden $3 \times 3$ unidad y nula, (4 puntos), y que una matriz $A$ tal que $A^2 - 3A + 2I = O$ tiene matriz inversa. (2 puntos)

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores $\alpha$ y $\beta$ tales que $A^3 = \alpha A + \beta I$, sabiendo que la matriz verifica la igualdad $A^2 - 3A + 2I = O$.

Calcula la matriz $A^n$ para $n \in \mathbb{N}$.

Resuelve la ecuación $(A + 2I)X = B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

Encuentre el punto de intersección de la recta $r$ con el plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$.

Encuentre los puntos $P$ de la recta $r$ para los cuales el tetraedro de vértices $P, A, B$ y $C$ tiene un volumen de $2\,\text{u}^3$.