Practica por temas

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & a \end{pmatrix}$, calcule el valor de $a$ que hace que: $$A^2 = A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Calcula los siguientes límites

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por $$f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 2b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula $a$ y $b$.

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $A^2 = -A - I$ y $2B^3 = B$, siendo $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matriz identidad. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: