Practica por temas

Halle la única matriz de la forma $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & a \\ b & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ que satisface que $A^2 = A$, y compruebe que $A$ y $A - I$ no son invertibles.

Justifique razonadamente que si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ diferente de la matriz nula, $0$, y de la matriz identidad, $I$, y satisface la igualdad $A^2 = A$, entonces las matrices $A$ y $A - I$ no son invertibles.

Represente, aproximadamente, la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 1$ definida en el intervalo cerrado $[0, 2]$.

Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 1$, el eje OX y las rectas $x = 0$, $x = 2$.

Encuentra todas las matrices $X$ que conmutan con la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},$$ es decir, que verifican que $AX = XA$.

¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con $A$ y cuyo determinante valga 4?

Discutir su rango en función de los valores de $a$.

Para $a = 1$, resolver la ecuación matricial $A^t X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.