Practica por temas

Demuestra que existe $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{2}$, siendo $$f(x) = \frac{\sqrt[4]{2^{x^2 + 3x + 3} + 3 \cdot 2^{x + 1} + 4}}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}}$$

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} e^{1/x}, & \text{si } x < 0 \\ k, & \text{si } x = 0 \\ \frac{\cos x - 1}{\sen x}, & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ hallar el valor de $k$ para que $f$ sea continua en $x = 0$. Justificar la respuesta.

Calcule el siguiente límite: $$\lim_{x \to 1} \left(\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{2} x\right)\right)^{\frac{1}{(1 - x)^2}}.$$

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de $125\,\text{m}^3$. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

Se dan las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2 - 2 & 3 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. Obtened: