Practica por temas

Un club de montaña organiza dos tipos de actividades para sus afiliados. El 70 % de ellos se apuntan a escalada, el 60 % a barranquismo y el 45 % de ellos practica las dos. Si se elige al azar un afiliado:

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + b} - 2 & \text{si } x \leq -\sqrt{2} \\ 2 - x^2 & \text{si } -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x^2 \ln(x^2 - a) & \text{si } \sqrt{2} \leq x \end{cases}$$ donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

Sea $g$ la función tal que $g(\frac{\pi}{2}) = 0$ y su derivada es igual a $$g'(x) = \frac{\sen x}{x}, \quad x > 0$$

En un estudio a 1000 estudiantes europeos, 500 saben hablar inglés, 300 saben hablar español, y 100 de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:

Considera la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ x & y & z \end{pmatrix}$. Sabiendo que el determinante de $M$ es 2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices: