Practica por temas

Un triángulo equilátero de vértices $A$, $B$ y $C$ tiene los lados de $8\,\text{cm}$. Situamos un punto $P$ sobre una de las alturas del triángulo, a una distancia $x$ de la base correspondiente.

Calcular $a$, $b$ y $c$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - b & \text{si } x < 0 \\ a + cx & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ cumpla los requisitos del teorema de Rolle en el intervalo $[-2, 2]$.

Se desea unir un punto $M$ situado en un lado de una calle, de $6\,\text{m}$ de anchura, con el punto $N$ situado en el otro lado de la calle, $18\,\text{m}$ más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde $M$ hasta un punto $P$, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto $P$ hasta el punto $N$. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que $M = (0, 6)$, $P = (x, 0)$ y $N = (18, 0)$. El cable $MP$ tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de $10\,\text{€/m}$. El precio del cable $PN$ es de $5\,\text{€/m}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: