Practica por temas

Considere la función $f(x)$, que depende de los parámetros reales $n$ y $m$ y está definida por $$f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4} + n & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ \frac{3x}{2} + m & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Resuelve los siguientes apartados:

Determine el valor de $K$ para el que la función $f(x) = \begin{cases} K \sen(x) & \text{si } x \in [0, \pi] \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$ sea una función de densidad. Determine para ese valor de $K$ la expresión de la función de distribución y calcule la media de la variable aleatoria que tiene por función de densidad a $f$.

Sea $m$ una constante real. Determine para qué valores de $m$ el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: $$\begin{cases} 5x + 4y + 2z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ 4x - y + m^2z = m - 1 \end{cases}$$

Una caja contiene monedas de $10$ céntimos, $20$ céntimos y $50$ céntimos. En total hay $350$ monedas. El número de monedas de $50$ céntimos es el doble que el de monedas de $10$ céntimos. Si en total hay $90$ euros ¿cuántas monedas hay de cada clase?