Practica por temas

Considera las matrices A = [[2, −1, λ], [2, −λ, 1], [2λ, −1, 1]], B = [[−1], [1], [0]] y X = [[x], [y], [z]].

Calcular $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases}$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$.

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = 4 - \frac{x^2}{3}$ y $g(x) = \frac{x^2}{6} - 2$.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $m$: $$\begin{cases} -x + y + z = m \\ 2x + my - z = 3m \\ (m-1)x + 3y - z = 6 + m \end{cases}$$ Se pide: a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro $m$. (6 puntos) b) Para los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución. (4 puntos)

Las coordenadas iniciales de los móviles $A$ y $B$ son $(0, 0)$ y $(250, 0)$, respectivamente, siendo $1\,\text{km}$ la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos $(1, 0)$ y $(0, 1)$. El móvil $A$ se desplaza sobre el eje $OY$ desde su posición inicial hasta el punto $(0, \frac{375}{2})$ con velocidad de $30\,\text{km/h}$ y, simultáneamente, el móvil $B$ se desplaza sobre el eje $OX$ desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de $40\,\text{km/h}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: