Practica por temas

Los vértices de un triángulo son $A(0, 12)$, $B(-5, 0)$ y $C(5, 0)$. Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas $(-x, 0)$, $(x, 0)$, siendo $0 \leq x \leq 5$. Los otros dos vértices están situados en los segmentos $AB$ y $AC$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sea la función $f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x < 0, \\ e^x & \text{si } x \geq 0. \end{cases}$

Dada la función $f(x) = x e^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$, demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f''(\alpha) = \pi$ (ojo, derivada segunda de $f$). Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ y $g(x) = \frac{1 - x^2}{2}$. (Observa que $f(x)$ es la parte no negativa de la circunferencia de centro el origen y radio 1.)

Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?