Practica por temas

Determina una ecuación del plano que contiene a la recta $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 4}{1} = \frac{z - 2}{5}$ y es paralelo a la recta $\frac{x}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3}$. Encuentra tres puntos no alineados dentro del plano que has dado.

Se da el triángulo $T$, cuyos vértices son $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 3, 1)$, $C = (1, 2, 2)$, y los planos $\pi_1 : x + y + z + 1 = 0$ y $\pi_2 : \begin{cases} x = -\alpha + \beta + 1 \\ y = \alpha - 2\beta \\ z = \alpha + \beta \end{cases}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sea $A$ la matriz siguiente: $$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$$ donde $a$ es un valor real.

Calcule los valores de $a$ para los que el determinante de la matriz $B$ es igual a $32$, $|B| = 32$ siendo $B = 2 \cdot A^2$ y $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Sean los vectores $\vec{u} = (4, 3, \alpha)$, $\vec{v} = (\alpha, 1, 0)$ y $\vec{w} = (2\alpha, 1, \alpha)$ (con $\alpha \in \mathbb{R}$).