Practica por temas

Sean los planos $\pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2 \cdot z = 3$ y $\pi_2 \equiv 2 \cdot x - y + a \cdot z = 0$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. En función del parámetro $a$, discute y resuelve cuando sea posible el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + y + az = 1 \\ x + ay + z = 1 \end{cases}$$

Se dan la recta $r: \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{a} = \frac{z - 1}{-1}$ y el plano $\pi: 2x - y + bz = 0$, siendo $a$ y $b$ dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$. a) Obtener la inversa de la matriz $A^T + I$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. (1,25 puntos) b) Resolver la ecuación matricial $A^T X - I = 2B - X$. ($A^T$ es la matriz traspuesta de $A$) (1,25 puntos)