Practica por temas

Se quiere contruir una estructura con forma de tetraedro cuya base tiene como vértices los puntos $A(0,0,0)$, $B(2,0,1/2)$ y $C(3/2,3,1)$ y el vértice superior, $D$, se encuentra en una viga recta entre los puntos $E(0,1,3)$ y $F(3,2,3)$ (es decir, $D = E + \lambda \vec{EF}$ con $\lambda \in [0, 1]$).

Considere el plano $\pi$ de ecuación $\pi : x + y + z = 1$ y la recta $r$ dada por $$r: \begin{cases} x - y = 0 \\ ax - z = a - 1 \end{cases}$$

Se dan las rectas $r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 2 = 0 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} 3y + 1 = 0 \\ x - 2z - 3 = 0 \end{cases}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se da el sistema de ecuaciones $\begin{cases} -x + ay + 2z = a \\ 2x + ay - z = 2 \\ ax - y + 2z = a \end{cases}$, dependiente del parámetro real $a$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Si lanzamos al mismo tiempo dos dados idénticos y del tipo usual (es decir, que sean cúbicos, que todas sus caras tengan la misma probabilidad de quedar hacia arriba y que en cada una de ellas aparezca un número de puntos que varíe desde el uno hasta el seis), ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas en los dos dados coincida con la suma más frecuente?