Practica por temas

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 2 + a & 2a \\ 0 & a - 1 & 3a \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$,

Considere el siguiente sistema:

Sea la función $f(x) = \sen(2x) - x$. Demuestre que la función $f(x)$ tiene exactamente tres ceros en el intervalo $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$. O sea, debe probar que existen exactamente tres valores de $x$ en el intervalo $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ tales que $f(x) = 0$.

Realice un dibujo del recinto limitado por las curvas $y_1(x) = 4 - x^2$, $y_2(x) = x^2$ (4 puntos). Calcule el área de este recinto (6 puntos).

Calcular la probabilidad de que dure entre 9 y 12 años.

¿Cuánto tiempo tendrá que durar el reloj si queremos que el 90 % de los relojes de esa marca duren menos que el nuestro?

Encontrar $a$ y $b$ para que la recta esté contenida en el plano.

¿Existen valores $a$ y $b$ para que la recta sea perpendicular al plano? Razonar la posible respuesta negativa o encontrarlos en su caso.

Razonar si existe un plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$.

Calcular la recta con vector director perpendicular a los de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que contiene al punto $(1,0,0)$.

Calcula la distancia entre $r$ y $\pi$.

Halla la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$.